Binomialträdet och replikeringen — hur optionen får sitt pris

Den klassiska frågan om en option — vad kommer aktien att göra? — är en prognosfråga, och prognosfrågor har inga säkra svar. Prissättningens fråga är en annan: vad kostar det att bygga aktiens betalningsstruktur med vanliga instrument? Om två konstruktioner betalar exakt samma i varje framtid har de samma pris idag — inte för att marknaden är klok utan för att skillnaden annars är fri peng: köp den billiga, sälj den dyra, stoppa skillnaden i fickan utan risk. Detta är arbitragens järnvillkor, och det är hela kursens teoretiska apparat: ingen prognos, ingen riskpreferens, ingen åsikt om upp- eller nedgång — bara kravet att ekvivalens kostar detsamma. Kursen genomför kravet i världens enklaste modell: en aktie som idag kostar 100 och som vid tidpunkten ett har exakt två lägen, 120 eller 80.

Två lägen är förstås en förenkling av verkligheten — men det är en förenkling med en egenskap som gör den ovärderlig: varje konstruktion på dessa två lägen kan räknas ut till sista kronan, och därmed kan mekanismen ses utan att drunkna i notation. Räntan sätts till 2 procent per period — långivningens riskfria alternativ i modellvärlden. Frågan kapitlet lämnar till nästa steg: vad kostar en köpoption med lösenpris 100 på den här aktien? Svaret finns redan i järnvillkoret — det kostar vad replikeringen kostar — men räkningen måste göras.

Optionen och aktien rör sig i samma värld: mellan läget 120 och läget 80 skiljer aktien 40 (120 minus 80) och optionen 20 (20 minus 0). Förhållandet — optionens förändring delat med aktiens — är hedgekvoten: 20 delat med 40 är 0,5. En halv aktie rör sig exakt som optionen mellan de två lägena: från 60 ner till 40 för aktiedelen, från 20 ner till 0 för optionen — samma känslighet, halva slaglängden. Hedgekvoten är den empiriska födelsen av od-01:s delta: grekens hela innehåll i ett räkneexempel, innan formler och notation. Men en halv aktie är inte en option — den betalar 60 i upp-läget, inte 20, och 40 i ner-läget, inte 0. Portföljen som ska bli optionen behöver därför en motpost: något som drar ifrån exakt 40 i båda lägena.

Ett lån är den naturliga kandidaten — lånat belopp med ränta återbetalas lika mycket oavsett världens läge — och dess storlek bestäms av kravet att ner-läget ska landa på noll: 0,5 aktier värda 40 minus återbetalningen ska vara 0, vilket ger återbetalningen 40, och med räntan 2 procent blir lånet idag 40 delat med 1,02. Räkningen är symmetrisk och verifieras i båda ändar: i upp-läget betalar portföljen 60 minus 40, alltså 20 — optionens exakta betalning; i ner-läget 40 minus 40, alltså 0. Vad en sådan konstruktion kostar att bygga idag — det är nästa kapitels enda fråga, och svaret är optionens pris.